Què és la llei de Gauss: fórmula i la seva derivació

L'estudi de la càrrega elèctrica i el flux elèctric juntament amb la superfície és la llei de Gauss. És una de les lleis bàsiques de l'electromagnetisme, que és aplicable a qualsevol tipus de superfície tancada coneguda com a superfície gaussiana. Aquesta llei és explicada i publicada per un matemàtic i físic alemany Karl Friedrich Gauss l'any 1867. Descriu la relació entre la intensitat del camp elèctric d'una superfície i la càrrega elèctrica total que envolta aquesta superfície. Aquest article ofereix una visió general de la llei de Gauss en dielèctrics i magnetostàtics amb una expressió matemàtica. Què és la llei de Gauss? La llei de Gauss és una de les equacions de l'electromagnetisme de Maxwell i defineix que el flux elèctric total en una superfície tancada és igual al canvi tancat dividit per permisivitat. Segons aquesta llei, el flux total vinculat a una superfície tancada és 1/E0 vegades el canvi tancat per una superfície tancada. El flux elèctric en una àrea significa el producte del camp elèctric per l'àrea de la superfície projectada en un pla i perpendicular al camp. Fórmula de la llei de Gauss Segons aquesta llei, la càrrega total tancada en una superfície tancada és proporcional al flux total tancat per la superfície. Considereu si, Φ és el flux total i E0 és la constant elèctrica, aleshores la càrrega elèctrica total Q tancada per una superfície tancada es pot expressar de la següent manera Q= ΦE0Per tant, la fórmula de la llei de Gauss es pot expressar a continuació ΦE= Q/E0On, Q= La càrrega total dins de la superfície donada, E0 és la constant elèctrica. Aquest concepte és senzill i es pot entendre molt fàcilment tenint en compte el diagrama de la llei de Gauss que es mostra a la figura següent. El flux elèctric total a través de la superfície tancada depèn de les càrregues de la superfície tancada i les càrregues de l'exterior de la superfície no contenen cap flux. La forma de la superfície es considera arbitràriament. Com que el flux elèctric total és independent de la ubicació de les càrregues dins de la superfície tancada. Aquesta superfície imaginària s'anomena superfície gaussiana, que depèn de la configuració de les càrregues i del tipus de simetria que hi ha en la configuració de les càrregues. S'escullen sobretot superfícies cilíndriques i planesDiagrama de la llei de Gauss Unitat SI de la llei de Gauss La unitat SI de la llei de Gauss es mostra a continuació. Si el camp elèctric és constant, el flux elèctric que passa per la superfície de l'àrea vectorial S és ΦE = E .S = ES Cos өSi un camp elèctric no és constant, el el flux elèctric a través d'una petita superfície dS ve donat per d ΦE = E. dSWon E = Camp elèctric dS = àrea diferencial en superfície tancada El flux elèctric té unitats SI de voltímetres (V m) Un camp elèctric és una regió de l'espai al voltant d'una partícula carregada o entre dues tensions; exerceix una força sobre objectes carregats al seu voltant.Llei de Gauss Expressió matemàticaSegons la llei de Gauss, el flux total en una superfície tancada és 1/E0 vegades la càrrega confinada per una superfície tancada.∮E. ds = (1/ E0) qPer exemple, una càrrega puntual q es col·loca en una vora del cub. Aleshores, segons la llei de Gauss, el flux generat a través de cada cara d'un cub és q/6 E0Segons aquesta llei, la càrrega total tancada en una superfície tancada és proporcional al flux total tancat per la superfície. Considereu si, Φ és el total flux i E0 és la constant elèctrica, aleshores la càrrega elèctrica total Q tancada per una superfície tancada es pot expressar de la següent manera Q= Φ E0 Per tant, la fórmula de la llei de Gauss es pot expressar com a continuacióΦE= Q/E0On, Q= càrrega total dins de la superfície donada, E0 és la constant elèctrica.DerivacióLa derivació de la llei de Gauss es mostra a continuació.Derivació de la llei de Gauss utilitzant la llei de coulombs,CAS 1: Superfície esfèrica que inclou una única càrrega puntual Suposem que tenim una única càrrega puntual estacionària amb una magnitud de EE= q/4ΠE0r2ΦE = ∮E. dA= ∮ q/4ΠE0r2. dA= q/4ΠE0r2§ dA= qA/4ΠE0r2= q4Πr2/4ΠE0r2= q/E0ΦE = ∮ E. dA = q/E0CAS 2: Superfície irregular que inclou la mateixa càrrega puntual Deixem que el mateix tipus de línies de camp passin per la superfície A1 i A2ΦE = ∮A1 E. dA = ∮A2 E. dA = q/E0∮ E. dA = q/E0Llei de Gauss en dielèctrics Considereu un condensador de plaques paral·leles amb la mateixa àrea A i densitat de càrrega σ i hi haurà un buit entre les plaques. El diagrama següent explica aquesta llei en els dielèctrics entre les dues plaques paral·leles. A continuació, podem avaluar el vector de camp E0 a la regió entre les plaques utilitzant la llei de Gauss.Llei de Gauss en dielèctrics Considerem una superfície gaussiana amb forma de cuboides i una cara és gaussiana, el flux no passarà per ella, i aleshores el flux no passarà per la cara perpendicular a aquesta cara. Per tant, el flux només passarà per la cara que és paral·lela a la placa positiva. Considereu la constant E0 de la superfície gaussiana i ө és l'angle entre el vector de camp i el vector d'àrea∯S E0. dα = q/E0∯S E0 dα cosө = q/E0∯S E0 dα = q/E0E0∯S dα = q/E0E0A = q/E0E0 = q/E0AH Aquí q= A σE0 = A σ /E0AE0= σ/ E0Gauss Llei del magnetisme Aquesta llei del magnetisme s'aplica al flux magnètic a través d'una superfície tancada. En aquest cas, el vector d'àrea apunta des de la superfície. Com que les línies de camp magnètic són bucles continus, totes les superfícies tancades tenen tantes línies de camp magnètic que entren com que surten. Per tant, el flux magnètic net a través de la superfície tancada és zero. Flux net = ʃ B. dA = 0 Per tant, la suma neta de tots els corrents de la superfície tancada és nul·la. La llei de Gauss per a càrregues va ser un mètode molt útil per calcular camps elèctrics en situacions altament simètriques. La llei de Gauss per a la magnetostàtica s'utilitza molt poques vegades. SignificatAquesta secció us permetrà una explicació clara sobre la importància de la llei de Gauss. La declaració de la llei de Gauss és correcta i adequada per a qualsevol superfície tancada independent de la mida o la forma de l'objecte particular. càrrega a la superfície. En algunes de les superfícies seleccionades, existeixen càrregues internes i externes d'un camp elèctric. La superfície seleccionada per a la funcionalitat de la llei de Gauss s'anomena superfície gaussiana, però aquesta superfície no s'ha de passar per cap tipus de càrrega aïllada. Això s'utilitza principalment per a l'anàlisi simplificada del camp electrostàtic en l'escenari en què el sistema manté algun equilibri. . Això només passarà quan triem una superfície gaussiana exacta.Exemples1). Una superfície gaussiana tancada a l'espai 3D on es mesura el flux elèctric. Sempre que la superfície gaussiana sigui esfèrica que estigui tancada amb 40 electrons i tingui un radi de 0.6 metres.Calculeu el flux elèctric que passa per la superfície. Trobeu el flux elèctric a una distància de 0.6 metres al camp mesurat des del centre de la superfície.Coneix. la relació que hi ha entre la càrrega tancada i el flux elèctric. RespostaAmb la fórmula del flux elèctric es pot calcular la càrrega neta que està tancada a la superfície. Això es pot aconseguir mitjançant la multiplicació de càrrega de l'electró amb els electrons sencers que apareixen a la superfície. Amb això, es poden conèixer la permitivitat de l'espai lliure i el flux elèctric.Ф = Q/є0 = [40(1.60 * 10-19)/8.85 * 10-12]= 7.42 * 10-12 Newton*metre/Coulomb RespostaReordenar l'equació de flux elèctric i expressant l'àrea segons el radi es pot utilitzar per calcular el camp elèctric.Ф = EA = 7.42 * 10-12 Newton*metre/CoulombE = (7.42 * 10–)/A= (7.42 * 10–)/ 4∏(0.6)2Com que el flux elèctric té una proporció directa amb la càrrega elèctrica tancada, això significa que quan augmenta la càrrega elèctrica a la superfície, també augmentarà el flux que la travessa. Avantatges Els avantatges de la llei de Gauss són els següents El teorema de Gauss és més eficient en tots els objectes i superfícies tancats per trobar un camp elèctric i també funcionarà eficaçment en el procés de distribució quan es comparen amb la llei de coulombs.InconvenientsEls desavantatges de la llei de Gauss són com f La limitació de la llei de Gauss és que només calcularà el camp elèctric en alguns casos especials. No podem utilitzar la llei de Gauss en el càlcul del camp a causa del dipol elèctric. Aplicacions A continuació es mostren les aplicacions importants de la llei de Gauss. Això és molt útil per resoldre problemes electrostàtics complexos que impliquen simetries úniques com ara simetria cilíndrica, esfèrica o plana. Això pot ser molt útil. per calcular la intensitat del camp a causa d'un cable de càrrega uniforme infinitament llarg. Si la distribució de càrrega no té simetria d'aplicació, en aquests casos podem utilitzar aquesta llei per calcular els camps de càrrega puntual dels elements de càrrega individuals que estan presents a l'objecteAquesta llei es pot utilitzar per simplificar l'avaluació del camp elèctric de manera senzilla i senzilla. En algunes de les situacions complexes, on el càlcul del camp elèctric és complex, aquesta llei s'utilitza en forma integral. Per tant, es tracta d'una visió general de la llei de Gauss: definició , fórmula, unitat SI, expressió matemàtica, derivació, diagrama, en dielèctrics, en magnetostàtica, significació, exemples amb solucions, avantatges es, inconvenients i les seves aplicacions.

Deixa un missatge 

Llista de missatges